Question

【題目】二次函數圖象的頂點在原點O，經過點A（1， ）；點F（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交于點H．

（1）求二次函數的解析式；
（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點M，求證：FM平分∠OFP；
（3）當△FPM是等邊三角形時，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數圖象的頂點在原點O，

∴設二次函數的解析式為y=ax2，

將點A（1， ）代入y=ax2得：a= ，

∴二次函數的解析式為y= x2

（2）

證明：∵點P在拋物線y= x2上，

∴可設點P的坐標為（x， x2），

過點P作PB⊥y軸于點B，則BF=| x2﹣1|，PB=|x|，

∴Rt△BPF中，

PF= = x2+1，

∵PM⊥直線y=﹣1，

∴PM= x2+1，

∴PF=PM，

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥y軸，

∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP

（3）

解：當△FPM是等邊三角形時，∠PMF=60°，

∴∠FMH=30°，

在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，

∵PF=PM=FM，

∴ x2+1=4，

解得：x=±2 ，

∴ x2= ×12=3，

∴滿足條件的點P的坐標為（2 ，3）或（﹣2 ，3）

【解析】（1）根據題意可設函數的解析式為y=ax2 ， 將點A代入函數解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數的解析式；（2）過點P作PB⊥y軸于點B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，結合平行線的性質，可得出結論；（3）首先可得∠FMH=30°，設點P的坐標為（x， x2），根據PF=PM=FM，可得關于x的方程，求出x的值即可得出答案．