Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AB=2，點在M在QO上，MC垂直平分OA，點N為直線AB上一動點（N不與A重合），若△MNP∽△MAC，PC與直線AB所夾銳角為α．

（1）若AM=AC，點N與點O重合，則α= °；

（2）若點C、點N的位置如圖所示，求α的度數；

（3）當直線PC與⊙O相切時，則MC的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）30（2）30°（3）

【解析】

試題分析：（1）根據AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA，可求得△MAO的形狀，然后根據點C在圓上，AP是圓O的直徑，從而可以求得α的值；

（2）根據AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA，可求得△MAO的形狀，△MNP∽△MAC，從而可以求得∠AMC和α的值；

（3）根據題意和圖形，以及（2）中的α的值，直線PC與圓O相切，可以分別求得MD、DC的長，從而可以求得MC的長.

試題解析：（1）如圖 ，α= 30 °；

如圖一所示：

∵AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA

∴MA=AC=MO=OA

∵點M在圓上

∴點C在圓上

∵AP是圓O的直徑

∴∠ACP=90°

∵AP=2AC

∴∠APC=30°

即α=30°

（2）連接MO，

∵MC垂直平分AO，∴MA=MO=AO

∴∠AMO=60°，則∠AMC=30°

∵△MAQ∽△MNP，

∴，，

∴∠AMN=∠QMP，

∴△AMN∽△QMP，

∴∠MAN=∠MQP，

∴α=∠AMQ=30°；

（3）連接OE，如圖三所示

∵AB=2，MC垂直平分AO

∴AO=1，DO=，MD=

由（2）可得α=30°

∵OE=1，∠OEF=90°

∴OF=2OE=2

∴DF=

∴DC=DF·tanα=

∴MC=MD+DC=