Question

【題目】如圖，A，B兩個工廠位于一段直線形河的異側，A廠距離河邊AC=5km，B廠距離河邊BD=1km，經測量CD=8km，現準備在河邊某處（河寬不計）修一個污水處理廠E．

（1）設ED=x，請用x的代數式表示AE+BE的長；

（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠E的位置應怎樣來確定此時需要管道多長？

（3）通過以上的解答，充分展開聯想，運用數形結合思想，請你猜想的最小值為多少？

Answer 1

【答案】（1）AE+BE=；（2）此時最少需要管道10km；（3）最小值為13．

【解析】

（1）由ED=x，AC⊥CD、BD⊥CD，根據勾股定理可用x表示出AE+BE的長；（2）根據兩點之間線段最短可知連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置．過點B作BF⊥AC于F，構造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的長即可；（3）根據AE+BE=+=AB=10；即可猜想所求代數式的值．

（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根據勾股定理可得AE=，BE=，

∴AE+BE=+；

（2）根據兩點之間線段最短可知連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置．

過點B作BF⊥AC于F，則有BF=CD=8，BD=CF=1．

∴AF=AC+CF=6．

在Rt△ABF中，BA===10，

∴此時最少需要管道10km．

（3）根據以上推理，設ED=x．AC=3，DB=2，CD=12．

∴當A、E、B共線時求出AB的值即為原式最小值．

當A、E、B共線時+==13，即其最小值為13．