Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y＝x＋2的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y＝ax2＋bx＋c關于直線x＝對稱，且經過A. C兩點，與x軸交于另一點為B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,過點P作PQ⊥x軸于M，交AC于Q，求PQ的⊥最大值，并求此時△APC的面積；

(3)在拋物線的對稱軸上找出使△ADC為直角三角形的點D,直接寫出點D的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋x＋2；(2)4；（3）D點的坐標為(,5)，(,5)，(,1＋)，(,1－).

【解析】分析：（1）由直線過點A，可得出點A的坐標，由A、B關于直線x=對稱可找出B點的坐標．由直線經過點C可求出點C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）直線AC的解析式為y=-x+2，即x+y-2=0，設點Q的坐標為（m，-m+2）；則P點坐標為（m，-m2+m+2），由此得到PQ=-（m-2）2+2，由二次函數最值的求法得到：點P（2，3），由分割法求得：S△PAC=S梯形OCPM+S△PMA-S△AOC；

（3）假設存在，設出D點坐標，△ADC為直角三角形分三種情況：

①當點C為直角頂點時：作DM⊥y軸于M由△CD1M∽△ACO可得：CM=3，所以OM=5，即D1（，5）；

②同理當點A為直角頂點時可求D2（，-5）；

③當點D為直角頂點時：過D3作MN⊥y軸．由△CD3M∽△D3NA可得：n2-2n=．易得D3（,1＋），D4（,1－）．

詳解：(1)令y＝x＋2＝0，解得：x＝4，

即點A的坐標為(4,0).

∵A、B關于直線x＝對稱， ∴點B的坐標為(1,0).

令x＝0，則y＝2，

∴點C的坐標為(0,2)，

∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點A、 B、C，

∴有解得： a＝，b＝，c＝2.

故拋物線解析式為y＝x2＋x＋2

(2)直線AC的解析式為y＝－x＋2,即x＋y2＝0，

設點Q的坐標為(m，－m＋2) ；則P點坐標為(m, m2＋m＋2)，

∴PQ＝（m2＋m＋2）－（－m＋2）

＝m2＋2m＝－（m－2）2＋2

∴當m＝2時，PQ最大＝2

此時點P（2,3）S△PAC＝S梯形OCPM＋S△PMA－S△AOC＝5＋3－4＝4

(3)假設存在,設D點的坐標為(,5)，(,5)，(,1＋)，(,1－).

解法如下：設D點的坐標（，m）

△ADC為直角三角形分三種情況：

①當點C為直角頂點時：作DM⊥y軸于M

由△CD1M∽△ACO可得：

∴,CM＝3 ∴OM＝5即D1（,5）

②同理當點A為直角頂點時可求D2(,5)

③當點D為直角頂點時:

過D3作MN⊥y軸

由△CD3M∽△D3NA可得：

∴，可得：n2－2n＝

解得：n＝1±

D3(,1＋),D4(,1－)

故D點的坐標為(,5)，(,5)，(,1＋)，(,1－).