Question

【題目】探究題

（1）【問題發現】
如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數量關系為
（2）【拓展研究】
在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；
（3）【問題發現】
當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，直接寫出線段AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：BE= AF
（2）

解：無變化；

如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴sin∠ABC= = ，

在正方形CDEF中，∠FEC= ∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，

∴ ，

∵∠FCE=∠ACB=45°，

∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，

∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，

∴ ，

∴BE= AF，

∴線段BE與AF的數量關系無變化

（3）

解：當點E在線段AF上時，如圖2，

由（1）知，CF=EF=CD= ，

在Rt△BCF中，CF= ，BC=2 ，

根據勾股定理得，BF= ，

∴BE=BF﹣EF= ﹣ ，

由（2）知，BE= AF，

∴AF= ﹣1，

當點E在線段BF的延長線上時，如圖3，

在Rt△ABC中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴sin∠ABC= = ，

在正方形CDEF中，∠FEC= ∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，

∴ ，

∵∠FCE=∠ACB=45°，

∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，

∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，

∴ ，

∴BE= AF，

由（1）知，CF=EF=CD= ，

在Rt△BCF中，CF= ，BC=2 ，

根據勾股定理得，BF= ，

∴BE=BF+EF= + ，

由（2）知，BE= AF，

∴AF= +1．

即：當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，線段AF的長為 ﹣1或 +1．

【解析】解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，
根據勾股定理得，BC= AB=2 ，
點D為BC的中點，
∴AD= BC= ，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴AF=EF=AD= ，
∵BE=AB=2，
∴BE= AF，
故答案為BE= AF；
（1）先利用等腰直角三角形的性質得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出結論；（2）先利用三角函數得出 ，同理得出 ，夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進而得出結論；（3）分兩種情況計算，當點E在線段BF上時，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD= ，BF= ，即可得出BE= ﹣ ，借助（2）得出的結論，當點E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論．