Question

【題目】（教材呈現）下圖是華師版九年級上冊數學教材第103—104頁的部分內容．

定理證明：請根據教材圖24.2.2的提示，結合圖①完成直角三角形的性質：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明．

定理應用：如圖②，在中，，垂足為點（點在上），是邊上的中線，垂直平分．求證：．

Answer 1

【答案】定理證明：見詳解；定理應用：見詳解．

【解析】

定理證明：延長CD到點E，使CD=DE，通過條件證明四邊形EBCA為矩形，利用矩形的性質可得到結論；

定理應用：連接ED，通過定理得到DE=BE，即∠B=∠EDB，然后通過垂直平分，得到DE=DC，即∠DEC=∠BCE，利用三角形外角可證得結論．

定理證明：延長CD到點E，使CD=DE，連接AE、BE，

∵DC是AB邊上的中線，

∴AD=BD，

又∵CD=DE，

∴四邊形EBCA為平行四邊形，

又∵∠ACB為直角，

∴四邊形EBCA為矩形，

∴AB=CE，

∴ ，

∴直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

定理應用：連接ED，

∵△ABC中，是邊上的中線，

∴E為AB的中點，

又∵，

∴DE是直角三角形ABD斜邊上的中線，

∴DE=BE，

∴∠B=∠EDB，

∵垂直平分，

∴DE=DC，

∴∠DEC=∠BCE，

∵∠EDB=∠DEC+∠BCE，

∴∠EDB=2∠BCE，

∴．