Question

如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別為EB，CD的中點
（1）求證：CD=BE，
（2）當把△ADE繞點A旋轉到圖2的位置時，CD=BE嗎？若相等請證明，若不等于請說明理由；
（3）當把△ADE繞點A旋轉到圖3的位置時，△AMN還是等邊三角形嗎？若是請證明，若不是，請說明理由（可用第一問結論）．

Answer 1

分析：（1）利用等邊三角形的性質求出AD=AE，AC=AB，即可得出；
（2）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的對應邊相等，所以CD=BE．
（3）可以證明△AMN是等邊三角形，AD=a，則AB=2a，根據已知條件分別求得△AMN的邊長，因為△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，所以面積比等于邊長的平方的比．

解答：解：（1）∵△ABC和△ADE為等邊三角形，
∴AD=AE，AC=AB，
∴AC-AD=AB-AE，
∴CD=BE；

（2）CD=BE．理由如下：
∵△ABC和△ADE為等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
∵在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠BAE=∠DAC AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴CD=BE；

（3）△AMN是等邊三角形．
理由如下：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD．
∵M、N分別是BE、CD的中點，∴BM=CN
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∵在△ABM和△ACN中，

BM=CN ∠ABE=∠ACD AB=AC

，
∴△ABM≌△ACN（SAS）．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°
∴△AMN是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、旋轉的性質．等邊三角形的判定：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．