Question

【題目】已知和都是等腰三角形，，，．

（初步感知）（1）特殊情形：如圖①，若點，分別在邊，上，則__________．（填＞、＜或=）

（2）發現證明：如圖②，將圖①中的繞點旋轉，當點在外部，點在內部時，求證：．

（深入研究）（3）如圖③，和都是等邊三角形，點，，在同一條直線上，則的度數為__________；線段，之間的數量關系為__________．

（4）如圖④，和都是等腰直角三角形，，點、、在同一直線上，為中邊上的高，則的度數為__________；線段，，之間的數量關系為__________．

（拓展提升）（5）如圖⑤，和都是等腰直角三角形，，將繞點逆時針旋轉，連結、．當，時，在旋轉過程中，與的面積和的最大值為__________．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）證明見解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7

【解析】

（1）由DE∥BC，得到，結合AB=AC，得到DB=EC；

（2）由旋轉得到的結論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；

（3）根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定定理證明△DAB≌△EAC，根據全等三角形的性質求出結論；

（4）根據全等三角形的判定和性質和等腰直角三角形的性質即可得到結論；

（5）根據旋轉的過程中△ADE的面積始終保持不變，而在旋轉的過程中，△ADC的AC始終保持不變，即可．

[初步感知]（1）∵DE∥BC，

∴，

∵AB=AC，

∴DB=EC，

故答案為：=，

（2）成立．

理由：由旋轉性質可知∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴DB=CE；

[深入探究]（3）如圖③，設AB，CD交于O，

∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，

∵∠BOD=∠AOC，

∴∠BDC=∠BAC=60°；

（4）∵△DAE是等腰直角三角形，

∴∠AED=45°，

∴∠AEC=135°，

在△DAB和△EAC中

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，

∵∠ADE=45°，

∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，

∵△ADE都是等腰直角三角形，AM為△ADE中DE邊上的高，

∴AM=EM=MD，

∴AM+BD=CM；

故答案為：90°，AM+BD=CM；

【拓展提升】

（5）如圖，

由旋轉可知，在旋轉的過程中△ADE的面積始終保持不變，

△ADE與△ADC面積的和達到最大，

∴△ADC面積最大，

∵在旋轉的過程中，AC始終保持不變，

∴要△ADC面積最大，

∴點D到AC的距離最大，

∴DA⊥AC，

∴△ADE與△ADC面積的和達到的最大為2+×AC×AD=5+2=7，

故答案為7．