Question

【題目】我們學習過利用用尺規作圖平分一個任意角，而“利用尺規作圖三等分一個任意角”曾是數學史上一大難題，之后被數學家證明是不可能完成的，人們根據實際需要，發明了一種簡易操作工具--------三分角器．圖1是它的示意圖，其中與半圓的直徑在同一直線 上，且的長度與半圓的半徑相等；與重直于點 足夠長．

使用方法如圖2所示，若要把三等分，只需適當放置三分角器，使經過的頂點，點落在邊上，半圓與另一邊恰好相切，切點為，則就把三等分了．

為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．

已知：如圖2，點在同一直線上，垂足為點，

求證：

Answer 1

【答案】在上，過點， 為半圓的切線，切點為；EB，EO為∠MEN的三等分線．證明見解析．

【解析】

如圖，連接OF．則∠OFE=90°，只要證明，，即可解決問題；

已知：如圖2，點在同一直線上，垂足為點， 在上，過點，為半圓的切線，切點為．

求證： EB，EO為∠MEN的三等分線．

證明：如圖，連接OF．則∠OFE=90°，

∵EB⊥AC，EB與半圓相切于點B，

∴∠ABE=∠OBE=90°，

∵BA=BO．EB=EB，

∴∠AEB=∠BEO，

∵EO=EO．OB=OF，∠OBE=∠OFE，

∴，

∴∠OEB=∠OEF，

∴∠AEB=∠BEO=∠OEF，

∴EB，EO為∠MEN的三等分線．

故答案為：在上，過點，為半圓的切線，切點為．

EB，EO為∠MEN的三等分線．