Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，∠EAF＝m°，將∠EAF繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交BC、CD于點E、F，G是CB延長線上一點，且始終保持BG＝DF．

（1）求證：△ABG≌△ADF；

（2）求證：AG⊥AF；

（3）當EF＝BE+DF時：

①求m的值；

②若F是CD的中點，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）①45；②．

【解析】

（1）在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．已知BG＝DF，所以得出△ABG≌△ADF；

（2）由△ABG≌△ADF，得出∠GAB＝∠FAD，從而得到∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝∠BAD＝90°，得出結論AG⊥AF；

（3）①：由△ABG≌△ADF，AG＝AF，BG＝DF．得到EF＝BE+DF，EF＝BE+BG＝EG．AE＝AE，得出△AEG≌△AEF．所以∠EAG＝∠EAF，∠EAF＝∠GAF＝45°，即m＝45；

②若F是CD的中點，則DF＝CF＝BG＝1．設BE＝x，則CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．在Rt△CEF中，利用勾股定理得出BE的長為．

解：（1）證明：在正方形ABCD中，如圖：

AB＝AD＝BC＝CD＝2，

∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．

∵BG＝DF，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS）；

（2）證明：∵△ABG≌△ADF，

∴∠GAB＝∠FAD，

∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF

＝∠FAD+∠BAF＝∠BAD＝90°，

∴AG⊥AF；

（3）①解：△ABG≌△ADF，

∴AG＝AF，BG＝DF．

∵EF＝BE+DF，

∴EF＝BE+BG＝EG．

∵AE＝AE，

在△AEG和△AEF中．

，

∴△AEG≌△AEF（SSS）．

∴∠EAG＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF＝45°，

即m＝45；

②若F是CD的中點，則DF＝CF＝BG＝1．

設BE＝x，則CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．

在Rt△CEF中，CE 2+CF 2＝EF 2，即（ 2﹣x ） 2+1 2＝（ 1+x ） 2，得x＝．

∴BE的長為．