Question

描述一組數據的離散程度，我們可以用“極差”、“方差”、“平均差”[平均差公式為T=

1

n

(|x1-

.

x

|+|x2-

.

x

|+…+|xn+

.

x

|)]，現有甲、乙兩個樣本，
甲：13，11，15，10，16；        
乙：11，16，6，13，19
（1）分別計算甲、乙兩個樣本的“平均差”，并根據計算結果判斷哪個樣本波動較大．
（2）分別計算甲、乙兩個樣本的“方差”，并根據計算結果判斷哪個樣本波動較大．
（3）以上的兩種方法判斷的結果是否一致？

Answer 1

分析：（1）由平均數的公式計算出甲和乙的平均數，再根據平均差公式進行計算即可；
（2）根據方差公式進行計算，再根據方差越大，波動性越大，即可得出答案；
（3）通過（1）和（2）得出的數據，即可得出兩種方法判斷的結果一樣．

解答：解：（1）甲組的平均數為（13+11+15+10+16）÷=13，
T_甲=（0+2+2+3+3）÷5=2，
乙組的平均數為（11+16+6+13+19）÷5=13，
T_乙=（2+3+7+0+6）÷5=3.6．
3.6＞2，
則乙樣本波動較大．
（2）甲的方差=

1

5

[（13-13）²+（11-13）²+（15-13）²+（10-13）²+（16-13）²]=5.2．
乙的方差=

1

5

[（11-13）²+（16-13）²+（6-13）²+（13-13）²+（19-13）²]=19.6．
∵

S

2 甲

＜

S

2 乙

，
∴乙樣本波動較大；  
（3）通過（1）和（2）的計算，結果一致．

點評：本題考查方差的定義與意義：一般地設n個數據，x₁，x₂，…x_n的平均數為

.

x

，則方差S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．