Question

在一組數據x₁，x₂，…，x_n中，各數據與它們的平均數

.

x

的差的絕對值的平均數，即T=

1

n

(|x1-

.

x

|+|x2-

.

x

|+…|xn-

.

x

|)叫做這組數據的“平均差”．“平均差”也能描述一組數據的離散程度．“平均差”越大說明數據的離散程度越大．因為“平均差”的計算要比方差的計算要容易一點，所以有時人們也用它來代替方差來比較數據的離散程度．極差、方差（標準差）、平均差都是反映數據離散程度的量．
一水產養殖戶李大爺要了解魚塘中魚的重量的離散程度，因為個頭大小差異太大會出現“大魚吃小魚”的情況；為防止出現“大魚吃小魚”的情況，在能反映數據離散程度幾個的量中某些值超標時就要捕撈；分開養殖或出售；他從兩個魚塘各隨機捕撈10條魚稱得重量如下：（單位：千克）
A魚塘：3、5、5、5、7、7、5、5、5、3
B魚塘：4、4、5、6、6、5、6、6、4、4
（1）分別計算甲、乙兩個魚塘中抽取的樣本的極差、方差、平均差；完成下面的表格：

	極差	方差	平均差
A魚塘
B魚塘

（2）如果你是技術人員，你會建議李大爺注意哪個魚塘的風險更大些？計算哪些量更能說明魚重量的離散程度？

Answer 1

分析：（1）根據極差的公式：極差=最大值-最小值，找出所求數據中最大的值，最小值，再代入公式求值；方差就是各變量值與其均值離差平方的平均數，根據方差公式計算即可，所以計算方差前要先算出平均數，然后再利用方差公式計算．
（2）利用極差與方差得出即可．

解答：解：（1）甲組數據中最大的值7，最小值3，故極差=7-3=4，

.

x

_甲=（3×2+6×5+2×7）÷10=5，
S²_甲=

(3-5) 2+(5-5) 2+…+(3-5) 2

10

=1.6，
T=

1

n

(|x1-

.

x

|+|x2-

.

x

|+…|xn-

.

x

|)=

1

10

（|3-5|+|5-5|+…+|3-5|）=0.8；
乙組數據中最大的值6，最小值4，故極差=6-4=2；

.

x

_乙=（4×4+6×4+5×2）÷10=5，
T=

1

n

(|x1-

.

x

|+|x2-

.

x

|+…|xn-

.

x

|)=

1

10

（|4-5|+|4-5|+…+|4-5|）=0.8；
S²_乙=[（4-5）²+（4-5）²+（5-5）²+（6-5）²+（6-5）²+（5-5）²+（6-5）²+（6-5）²+（4-5）²+（4-5）²]÷10=0.8，
∵S²_甲＜S²_乙；
 

	極差	方差	平均差
A	4	1.6	0.8
B	2	0.8	0.8

（2）根據A，B的極差與方差可以得出A魚塘風險更大．極差與方差更能說明魚重量的離散程度

點評：此題主要考查了方差與極差以及平均差的求法，極差反映了一組數據變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數據中的最大值減去最小值；方差是各變量值與其均值離差平方的平均數，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法．