Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過的三個頂點，已知點，，的直角頂點C在y軸上．

如圖1，點D是拋物線第一象限內上的一個動點．

并直接寫出點C的坐標，并求拋物線的解析式；

當動點D的坐標是多少時，四邊形ABCD的面積最大？最大面積是多少？

如圖2，長度為1個單位長度的線段MN在的邊AB上運動，過M，N分別作AB的垂線交直角邊于P，Q兩點．

在線段MN運動過程中，若四邊形MNQP是矩形，求點M的坐標；

在線段MN運動過程中，若以C、P、Q為頂點的三角形與相似，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】，；點D的坐標是時，四邊形ABCD的面積最大，最大面積是；點的坐標為；M點的坐標為或．

【解析】

利用射影定理計算得，則，再設交點式，然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；

作軸交BC于E，如圖1，先利用待定系數法確定直線BC的解析式為，設，則，則，利用二次函數的性質得當時，的最大值為，此時，然后計算對應的四邊形ABCD的面積最大值；

易得AC的直線解析式為，設，則，，，利用矩形性質得，解方程求出t得到M點的坐標；

根據兩點間的距離公式得到，，，，利用相似三角形的判定方法當時，∽，即；當時，∽，即，然后分別解方程求出即可得到對應的M點的坐標．

，，

，

，

，

設拋物線解析式為，

把代入得，解得，

拋物線解析式為，

即；

作軸交BC于E，如圖1，

設直線BC的解析式為，

把，代入得，解得，

直線BC的解析式為，

設，則，

，

，

當時，的最大值為，此時，

四邊形ABCD的面積最大值，

即動點D的坐標是時，四邊形ABCD的面積最大，最大面積是；

易得AC的直線解析式為，

設，則，，，

四邊形MNQP是矩形，

，解得，

點的坐標為；

，，，，

，

當時，∽，即，解得，此時；

當時，∽，即，解得，此時；

綜上所述，M點的坐標為或．