Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知矩形OACB的邊OA，OB分別在x軸上和y軸上，線段OA，OB的長分別是一元二次方程x²-18x+72=0的兩個根，且OA＞OB；點P從點O開始沿OA邊勻速移動，點M從點B開始沿BO邊勻速移動．如果點P，點M同時出發，它們移動的速度相同，設OP=x（0≤x≤6），設△POM的面積為y．
（1）求y與x的函數關系式；
（2）連接矩形的對角線AB，當x為何值時，以P，O，M為頂點的三角形與△AOB相似；
（3）當△POM的面積最大時，將△POM沿PM所在直線翻折后得到△PDM，試判斷D點是否在矩形的對角線AB上，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先解一元二次方程，求出OA、OB的值，再利用三角形的面積公式，可得到y與x的關系式．
（2）主要考慮兩種情況，就是兩條直角邊互換對應邊．
（3）△POM面積最大，根據（1）中的函數式可求出x的值，由此得到OP的值，從而可知四邊形MOPD是正方形，那么DM=3，若D在AB上，利用比例線段可求出DM=6，所以可以知道D不在AB上．

解答：解：（1）解二次方程x²-18x+72=0得，x₁=6，x₂=12，根據題意知，OA=12，OB=6．
S_△POM=

1

2

×OM×OP=

1

2

×（6-x）•x=-

1

2

x²+3x，
即y=-

1

2

x²+3x．

（2）主要考慮有兩種情況，一種是△MOP∽△BOA，
那么有

OP

OA

=

OM

OB

，即，

x

12

=

6-x

6

，解得，x=4；
一種是△POM∽△BOA，
那么有

OP

OB

=

OM

OA

，即，

x

6

=

6-x

12

，解得，x=2，
所以當x=2或x=4時，以P、O、M為頂點的三角形與△AOB相似．

（3）由（1）得，y=-

1

2

x²+3x，可以知道，當x=-

b

2a

=3時，y有最大值．
即OP=3，
∵OP=3，
∴OM=6-x=3，
∴△MOP是等腰直角三角形．根據題意，
以對角線MP為對稱軸得到△MDP與△MOP全等，且四邊形MOPD是正方形，
所以DM=3，MD∥OA，
若D在對角線AB上，必須有

BM

OB

=

DM

OA

，
即，DM=

BM

OB

×OA=

3

6

×12=6，
∵DM=6≠3，
∴點D不在對角線AB上．

點評：本題利用了解一元二次方程，三角形的面積公式，相似三角形的性質，正方形的判定，平行線分線段成比例性質等知識．