Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，交CA的延長線于點E，連接AD、DE．

（1）求證：D是BC的中點；

（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半徑；

（3）在（2）的條件下，求弦AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角得到AD⊥BC，應用等腰三角形的三線合一證得點D為BC的中點；

（2）應用等腰三角形的性質和判定證得BD=DE=3，進而求得BD=3，AD=1，應用勾股定理求得AB的長，即可得到半徑的長；

（3）解法一：通過證明△CAB∽△CDE，應用相似三角形的性質解得CE的長，再求AE的長；

解法二：連接BE，通過證明△ADC∽△BEC，解得CE的長，再求AE的長．

試題解析：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，

又∵AB=AC，

∴D是BC的中點．

（2）解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠C=∠E，則DC=DE，

∴BD=DE=3，

又BD-AD=2，

∴AD=1，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=1，

∴AB=，

則⊙O的半徑為．

（3）解法一：在△CAB和△CDE中，

∠B=∠E，∠C=∠C（公共角），

∴△CAB∽△CDE，

∴，

∵CA=AB=，

∴，

∴AE=CE-AC==．

解法二：連接BE，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠BEC=，

在△ADC和△BEC中，

∠ADC=∠BEC=，∠C=∠C，

∴△ADC∽△BEC，

∴，

∴，

∴AE=CE-AC==．