Question

【題目】已知：如圖，一次函數y＝x+3的圖象分別與x軸、y軸相交于點A、B，且與經過點C（2，0）的一次函數y＝kx+b的圖象相交于點D，點D的橫坐標為4，直線CD與y軸相交于點E．

（1）直線CD的函數表達式為　 　；（直接寫出結果）

（2）點Q為線段DE上的一個動點，連接BQ．

①若直線BQ將△BDE的面積分為1：2兩部分，試求點Q的坐標；

②點Q是否存在某個位置，將△BQD沿著直線BQ翻折，使得點D恰好落在直線AB下方的坐標軸上？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝3x﹣6；（2）①Q的坐標為（，﹣2）或（，2）；②點Q的坐標為（3，3）或（，）．

【解析】

（1）求出C、D兩點坐標即可解決問題；

（2）①分兩種情形S△BEQ＝S△BDE或S△BEQ＝S△BDE分別構建方程即可；

②分兩種情形當：點D落在x正半軸上（記為點D1）時，如圖2中．當點D落在y負半軸上（記為點D2）時，如圖3中．分別求解即可

解：（1）由題意：D（4，6），C（2，0），

設直線CD的解析式為y＝kx+b，則有 ，

解得 ，

∴直線CD的解析式為y＝3x﹣6．

故答案為y＝3x﹣6．

（2）①∵直線BQ將△BDE的面積分為1：2兩部分，

∴S△BEQ＝S△BDE或S△BEQ＝S△BDE．

在y＝x+3中，當x＝0時，y＝3；當x＝4時，y＝6．

∴B（0，3），D（4，6）．

在y＝3x﹣6中，當x＝0時，y＝﹣6．

∴E（0，﹣6）．

∴BE＝9．

如圖1中，過點D作DH⊥y軸于點H，則DH＝4．

∴S△BDE＝BEDH＝×9×4＝18．

∴S△BEQ＝×18＝6或S△BEQ＝×18＝12．

設Q（t，3t﹣6），由題意知t＞0．

過點Q作QM⊥y軸于點M，則QM＝t．

∴×9×t＝6或×9×t＝12．

解得t＝ 或 ．

當t＝時，3t﹣6＝﹣2；當t＝時3t﹣6＝2．

∴Q的坐標為（，﹣2）或（，2）．

②當點D落在x正半軸上（記為點D1）時，如圖2中．

由（2）知B（0，3），D（4，6），

∴BH＝BO＝3．

由翻折得BD＝BD1．

在△Rt△DHB和Rt△D1OB中，

，

∴Rt△DHB≌Rt△D1OB．

∴∠DBH＝∠D1BO．

由翻折得∠DBQ＝∠D1BQ．

∴∠HBQ＝∠OBQ＝90°．

∴BQ∥x軸．

∴點Q的縱坐標為3．

在y＝3x﹣6中，當y＝3時，x＝3．

∴Q（3，3），

當點D落在y負半軸上（記為點D2）時，如圖3中．

過點Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分別為點M、N．

由翻折得∠DBQ＝∠D2BQ．

∴QM＝QN．

由（2）知S△BDE＝18，即S△BQD+S△BQE＝18．

∴BDQM+BEQN＝18．

在Rt△BDH中，由勾股定理，得BD＝ ＝＝5．

∴×5QN+×9QN＝18．

解得QN＝．

∴點Q的橫坐標為．

在y＝3x﹣6中，當x＝時，y＝．

∴Q（，）．

綜合知，點Q的坐標為（3，3）或（，）．

故答案為：（1）y＝3x﹣6；（2）①Q的坐標為（，﹣2）或（，2）；②點Q的坐標為（3，3）或（，）．