Question

【題目】如圖，點D為圓O上一點，點C在直徑AB的延長線上，且∠CAD＝∠BDC，過點A作⊙O的切線，交CD的延長線于點E．

（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CB＝3，CD＝9，求ED的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）ED＝36.

【解析】

（1）連接OD，根據圓周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDB+∠BDO=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）根據切線長定理求出AC，進而求得OC和OD，根據證得OCD∽△ECA，得到，求出EC，即可求得ED的長．

（1）證明：連接OD，

∵OD＝OB，

∴∠DBA＝∠BDO，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠DBA＝90°，

∵∠CDB＝∠CAD，

∴∠CDB+∠BDO＝90°，

即OD⊥CE，

∵D為⊙O的一點，

∴直線CD是⊙O的切線；

（2）∵CD是⊙O的切線，

∴CD2＝BCAC，

∵CB＝3，CD＝9，

∴92＝3AC，

∴AC＝27，

∴AB＝AC﹣BC＝27﹣3＝24，

∵AB是圓O的直徑，

∴OD＝OB＝12，

∴OC＝OB+BC＝15，

∵過點A作的⊙O切線交CD的延長線于點E，

∴EA⊥AC，

∵OD⊥CE，

∴∠ODC＝∠EAC＝90°，

∵∠OCD＝∠ECA，

∴△OCD∽△ECA，

∴，即，

∴EC＝45，

∴ED＝EC﹣CD＝45﹣9＝36．