Question

【題目】閱讀材料,在平面直角坐標系中,已知x軸上兩點A（x1，0），B（x2，0）的距離記作AB=|x1﹣x2|；若A,B是平面上任意兩點，我們可以通過構造直角三角形來求AB間的距離,如圖,過A，B分別向x軸、y軸作垂線AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分別是M1、N1、M2、N2，直線AN1交BM2于點Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1﹣x2|，BQ=|y1﹣y2|,∴AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2，由此得到平面直角坐標系內任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2）間的距離公式為：

（1）AB= ．

（2）直接應用平面內兩點間距離公式計算點A（1,﹣3），B（﹣2,1）之間的距離為 ；

（3）根據閱讀材料并利用平面內兩點間的距離公式，求代數式的最小值．

Answer 1

【答案】(1);(2)5；（3）

【解析】分析:(1)通過作鉛垂線構造直角三角形,利用勾股定理進行求解即可,

(2)根據(1)結論代入兩點坐標計算即可,(3) 代數式+的最小值表示在x軸上找一點P（x,0）,到A（0,2），B（3,1）的距離之和最小,可以通過作對稱轉化為兩點間線段距離最短,再利用兩點之間距離公式計算即可求解.

詳解:（1）∵AB2=AQ2+BQ2=|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2,

∴AB=,故答案為．

（2）∵A（1,﹣3）,B（﹣2,1）,

∴AB==5,故答案為5．

（3）代數式+的最小值表示在x軸上找一點P（x,0）,到A（0,2），B（3,1）的距離之和最小,如圖,

作A關于x軸的對稱點A′,連接BA′與x軸的交點即為所求的點P．此時PA+PB最小,

∵A′（0,﹣2）,B（3,1）,

∴PA+PB=PA′+PB=BA′==3

∴代數式+的最小值為3．