Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E。

（1）求證：AB=BE；

（2）若PA=2 ，cosB=，求⊙O半徑的長。

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、3.

【解析】

試題分析：(1)、連接OD，根據切線的性質得出∠PDA+∠ADO=90°，根據BE⊥PD得出∠E+∠EDC=90°，根據對頂角相等從而得出∠ADO=∠E，根據OA=OD得出∠OAD=∠ADO，從而說明∠OAD=∠E，從而得出答案；(2)、首先設半徑為r，根據OD⊥PC，BE⊥PC得出OD∥BE，然后根據Rt△PDO中cos∠POD=cos∠B列出關于r的一元一次方程，求出r的值.

試題解析：(1)、連接OD， ∵PD切⊙O于點D，∴∠PDO=90°即∠PDA+∠ADO=90°，

∵BE垂直于PD，交PD的延長線于點C，∴∠E+∠EDC=90°， ∵∠PDA=∠EDC，∴∠ADO=∠E，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE

(2)、設⊙O半徑的半徑為r ∵OD⊥PC，BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠POD=∠B，

∵在Rt△PDO中，PO=PA+AO=2+r，cos∠POD=cos∠B=

∴，解得：r=3，答：⊙O半徑的長為3