Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設銳角∠AOB＝α，將△DOC按逆時針方向旋轉得到△D′OC′（0°＜旋轉角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點M．

(1)、當四邊形ABCD為矩形時，如圖1．求證：△AOC′≌△BOD′．

(2)、當四邊形ABCD為平行四邊形時，設AC＝kBD，如圖2．

①猜想此時△AOC′與△BOD′有何關系，證明你的猜想；

②探究AC′與BD′的數量關系以及∠AMB與α的大小關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、①、△BOD′∽△AOC′，證明過程見解析；(2)、AC′=kBD′，∠AMB＝α，證明過程見解析.

【解析】

試題分析：(1)、根據矩形的性質得出OA=OC=OB=OD，根據旋轉可得OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC，根據平角得出∠BOD′=∠AOC′，從而說明三角形全等；(2)、根據平行四邊形的性質得出OB=OD，OA=OC，根據旋轉得出OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC，根據平角的性質得出∠BOD′=∠AOC′，從而得出三角形相似；根據三角形相似的性質進行說明.

試題解析：(1)、在矩形ABCD中，∵AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，

∴OA=OC=OB=OD，∵△D′OC′由△DOC旋轉得到，∴OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC，

∴OB=OD′=OA=OC′，∴180°－∠D′OD=180°－∠C′OC， 即∠BOD′=∠AOC′，

∴△BOD′≌△AOC′

(2)、①猜想：△BOD′∽△AOC′．

∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC， ∵△D′OC′由△DOC旋轉得到，

∴OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC， ∴OB：OA=OD′：OC′，180°－∠D′OD=180°－∠C′OC，

∴∠BOD′=∠AOC′， ∴△BOD′∽△AOC′

②結論：AC′=kBD′，∠AMB＝α

∵△BOD′∽△AOC′， ∴，即AC′=kBD′

設BD′與AC相交于點N，∵△BOD′∽△AOC′，∴∠OBM=∠OAM，

在△ANM與△BNO中，又∵∠ANM=∠BNO，

∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO，

即∠AMB＝∠AOB＝α．