Question

【題目】（2016山東省菏澤市）如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．

（1）如圖1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°

①求證：AD=BE；

②求∠AEB的度數．

（2）如圖2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM為△DCE中DE邊上的高，BN為△ABE中AE邊上的高，試證明：AE=CM+BN．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②80°；（2）證明見解析．

【解析】試題（1）①通過角的計算找出∠ACD=∠BCE，再結合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可證出△ACD≌△BCE，由此即可得出結論AD=BE；

②結合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通過角的計算即可算出∠AEB的度數；

（2）根據等腰三角形的性質結合頂角的度數，即可得出底角的度數，利用（1）的結論，通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長度，二者相加即可證出結論．

試題解析：（1）①證明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．

∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．

在△ACD和△BCE中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．

②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．

∵點A，D，E在同一直線上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．

∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．

（2）證明：∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．

∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．

在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=CM．

∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．

在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．

∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=CM+BN．