Question

【題目】已知：∠MAN＝60°，點B在射線AM上，AB＝4（如圖）．P為直線AN上一動點，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點B，P，Q按順時針排列），O是△BPQ的外心．

（1）當點P在射線AN上運動時，求證：點O在∠MAN的平分線上；

（2）當點P在射線AN上運動（點P與點A不重合）時，AO與BP交于點C，設AP＝x，AC﹒AO＝y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）若點D在射線AN上，AD＝2，圓I為△ABD的內切圓．當△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時，請直接寫出點A與點O的距離．

Answer 1

【答案】 （1）詳見解析；（2）y＝4x，其中自變量的取值范圍為x＞0；（3））①當BP與圓I相切時，AO＝ ；②當BP與圓I相切時，AO＝；③當BQ與圓I相切時，AO＝0．

【解析】

（1）證O在∠MAN的平分線上，可證O到角兩邊的距離相等，分兩種情況：①OB不與AM垂直，過O作OT⊥AN，OH⊥AM，可通過構建全等三角形來求解．連接OB，OP，則OB＝OP，只需證明△OHB與△OTP全等即可．這兩個三角形中，已知的條件有OB＝OP，一組直角．只需再證得一組角對應相等即可，∠HOT和∠BOP都等于120°，因此∠BOH＝∠TOP，則兩三角形全等，OT＝OH．由此得證；②當OB⊥AM時，由于OB＝OP，只需證明OP⊥AN即可．由于∠BOP＝120°，而∠ABO＝90°，∠MAN＝60°，根據四邊形的內角和為360°，即可求得OP⊥AN，由此可得證；

（2）本題要通過相似三角形ACP和ABO來求解．這兩個三角形中，已知了∠BAO＝∠CAP（在1題中已經證得），只需再找出一組對應角相等即可，在△ACP和△OBC中，∠CAP＝∠OBC＝30°，∠ACP＝∠BCO，因此∠APC＝∠AOB，由此證得兩三角形相似，可得出關于AB，AC，AO，AP的比例關系式，據此可求出y，x的函數關系式；

（3）本題分三種情況：

①圓I在△BPQ外，且與BP邊相切，此時D、P重合，AD＝AP＝2，AB＝4，∠MAN＝60°，因此△ABP為直角三角形，不難得出△ABO也是直角三角形，因此可得出△ABO≌△APB，AO＝BP＝2；②圓I在△BPQ內，與BP，PQ邊相切時，此時P與A重合，可在直角三角形ODA中，根據AD＝2，∠DAO＝30°，求得AO＝；③圓I在△BPQ內，與BQ邊相切時，A，O重合，因此AO＝0．

（1）證明：如圖1，連接OB，OP．

∵O是等邊三角形BPQ的外心，∴圓心角∠BOP＝＝120°．

當∠MAN＝60°，不垂直于AM時，作OT⊥AN，則OB＝OP．

由∠HOT＋∠A＋∠AHO＋∠ATO＝360°，且∠A＝60°，∠AHO＝∠ATO＝90°，

∴∠HOT＝120°，

∴∠BOH＝∠POT，

∴Rt△BOH≌Rt△POT．

∴OH＝OT，

∴點O在∠MAN的平分線上；

（2）如圖2，

∵AO平分∠MAN，且∠MAN＝60°，

∴∠BAO＝∠PAO＝30°，

由（1）知，OB＝OP，∠BOP＝120°，

∴∠CBO＝30°，

∴∠CBO＝∠PAC，

∵∠BCO＝∠PCA，

∴∠AOB＝∠APC，

∴△ABO∽△ACP，

∴，

∴AC﹒AO＝AB﹒AP，

∴y＝4x，其中自變量的取值范圍為：x＞0；

（3）①如圖3，當BP與圓I相切時，AO＝；

②如圖4，當BP與圓I相切時，AO＝；

③如圖5，

當BQ與圓I相切時，AO＝0．