Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過點A、B，與y軸負半軸交于點C，且OC＝OB，其中B點坐標為（3，0），對稱軸l為直線x＝．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上方有一點P，連接PA后滿足∠PAB＝∠CAB，記△PBC的面積為S，求當S＝10.5時點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，當點P恰好落在拋物線上時，將直線BC上下平移，平移后的直線y＝x+t與拋物線交于C′、B′兩點（C′在B′的左側），若以點C′、B′、P為頂點的三角形是直角三角形，求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）點P（2，6）；（3）19或32

【解析】

（1）先確定出點A坐標，再用待定系數法即可得出結論；

（2）先確定出直線AP的解析式，進而用m表示點P的坐標，即可求出S與m的函數關系，即可求出答案；

（3）先確定出點P的坐標，當∠B'PC'=90°時，利用根與系數的關系確定出B'C'的中點E的坐標，利用B'C'=2PE建立方程求解，當∠PC'B'=90°時，先確定出點G的坐標，進而求出直線C'G的解析式，進而得出點C'的坐標，即可得出結論．

解：（1）∵B（3，0），對稱軸為直線x＝，

∴A（﹣2，0），

∴拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣3）＝ax2﹣ax﹣6a，

∵B（3，0），

∴OB＝3，

∵OC＝OB，

∴OC＝3，

∴C（0，﹣3），

把C（0，﹣3）代入y＝a（x+2）（x﹣3），

得：﹣6a＝﹣3，

∴a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣3；

（2）如圖1，射線AP與y軸的交點記作點C'，

∵∠BAC＝∠BAC'，OA＝OA，∠AOC＝∠AOC'＝90°，

∴△AOC≌△AOC'（ASA），

∴OC'＝OC＝3，

∴C'（0，3），

∵A（﹣2，0），

設直線AP的解析式為y＝kx+b，

把A，C'兩點代入得，

解得：，

∴直線AP的解析式為y＝x+3，

∵點P（m，n）在直線AP上，

∴n＝m+3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直線BC的解析式為y＝k1x﹣3，

∴0=3k1﹣3，

解得：k1=1，

∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，

過點P作y軸的平行線交BC于F，

∴F（m，m﹣3），

∴PF＝m+3﹣（m﹣3）＝m+6，

∴S＝S△PBC＝OBPF＝×3（m+6）＝m+9（m＞﹣2）；

∴當S＝10.5時，10.5＝m+9，

∴m＝2，

∴點P（2，6）；

（3）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣3①

由（2）知，直線AP的解析式為y＝x+3②，

聯立①②解得，或，

∴P（6，12），

如圖2，

當∠C'PB'＝90°時，取B'C'的中點E，連接PE，

則B'C'＝2PE，即：B'C'2＝4PE2，

設B'（x1，y1），C'（x2，y2），

∵直線B'C'的解析式為y＝x+t③，

聯立①③化簡得，x2﹣3x﹣（2t+6）＝0，

∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣（2t+6），

∴點E（，+t），

B'C'2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝2（x1﹣x2）2＝2[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝2[9+4（2t+6）]＝16t+66，

而PE2＝（6﹣）2+（12﹣﹣t）2＝t2﹣21t+，

∴16t+66＝4（t2﹣21t+），

∴t＝6（此時，恰好過點P，舍去）或t＝19，

當∠PC'B'＝90°時，延長C'P交BC于H，交x軸于G，

則∠BHC＝90°，

∵OB＝CO，∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝45°，

∴∠PGO＝45°，

過點P作PQ⊥x軸于Q，則GQ＝PQ＝12，

∴OG＝OQ+GQ＝18，

∴點G（18，0），

∴直線C'G的解析式為y＝﹣x+18④，

聯立①④解得或，

∴C'的坐標為（﹣7，25），

將點C'坐標代入y＝x+t中，得25＝﹣7+t，

∴t＝32，

即：滿足條件的t的值為19或32．