Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常數）．

（1）證明：無論m取什么實數，該拋物線與x軸都有兩個交點；

（2）設拋物線的頂點為A，與x軸兩個交點分別為B，D，B在D的右側，與y軸的交點為C．

①求證：當m取不同值時，△ABD都是等邊三角形；

②當|m|≤，m≠0時，△ABC的面積是否有最大值，如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②．

【解析】

（1）令y=0可得出關于x的一元二次方程，由該方程的根的判別式△=12＞0，可證出：無論m取什么實數，該拋物線與x軸都有兩個交點；

（2）利用二次函數的性質及二次函數圖象上點的坐標特征，可求出點A，B，C，D的坐標．

①在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出AB=2BE可得出∠BAE=30°，同理，可得出∠DAE=30°及∠BAD=60°，再結合AB=AD即可證出：當m取不同值時，△ABD都是等邊三角形；

②分0＜m≤及-≤m＜0兩種情況找出S△ABC關于m的函數關系式，利用二次函數的性質或一次函數的性質求出S△ABC的最大值，比較后即可得出結論．

（1）證明：令y=0，則有x2-2mx+m2-3=0．

∵△=（-2m）2-4×1×（m2-3）=12＞0，

∴關于x的一元二次方程x2-2mx+m2-3=0有兩個不相等的實數根，

∴無論m取什么實數，該拋物線與x軸都有兩個交點；

（2）解：∵y=x2-2mx+m2-3=（x-m）2-3，

∴頂點A的坐標為（m，-3），

設拋物線對稱軸與x軸的交點為E，則點E的坐標為（m，0）；

當x=0時，y=x2-2mx+m2-3=m2-3，

∴點C的坐標為（0，m2-3）；

當y=0時，x2-2mx+m2-3=0，即（x-m）2=3，

解得：x1=m-，x2=m+，

∴點D的坐標為（m-，0），點B的坐標為（m+，0）．

①證明：在Rt△ABE中，AE=3，BE=m+-m=，

∴AB==2=2BE，

∴∠BAE=30°．

同理，可得出：∠DAE=30°，

∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=60°．

又∵AB=AD，

∴當m取不同值時，△ABD都是等邊三角形．

②分兩種情況考慮：

（i）當0＜m≤時，如圖2所示．

S△ABC=S梯形OCAE+S△ABE-S△OCB，

=OE（OC+AE）+AEBE-OCOB，

=m（3-m2+3）+×3×（m+-m）-（3-m2）（m+），

=m2+m=（m+）2-，

∵＞0，

∴當0＜m≤時，S△ABC隨m的增大而增大，

∴當m=時，S△ABC取得最大值，最大值為3；

（ii）當-≤m＜0時，如圖3所示．

S△ABC=S梯形EACO+S△OCB-S△ABE，

=OE（OC+AE）+OCOB-AEBE，

=-m（3-m2+3）+（3-m2）（m+）-（m+-m）（3-m2）=-m，

∵-＜0，

∴當-≤m＜0時，S△ABC隨m的增大而減小，

∴當m=-時，S△ABC取得最大值，最大值為．

∵3＞，

∴當m=時，△ABC的面積取得最大值，最大值為3．