Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知點P是反比例函數圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．

（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時，

①求過點A，B，C三點的拋物線解析式；

②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的？若存在，直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形OKPA是正方形，理由見解析；（2）①y＝x2﹣x+；；②存在，M的坐標為（0，）或（3，0）或（4，）或（7，）

【解析】

（1）先證明四邊形OKPA是矩形，又PA＝PK，所以四邊形OKPA是正方形；

（2）①證明△PBC為等邊三角形；在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，設PB＝PA＝a，BG＝，由勾股定理得：PG＝a，所以P（a，），將P點坐標代入y＝，求出PG＝，PA＝BC＝2，又四邊形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，故OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3，即可求得a、b、c的值；設二次函數的解析式為：y＝ax2+bx+c，根據題意得：a+b+c＝0，9a+3b+c＝0，而c＝，即可求解．

②

（1）四邊形OKPA是正方形，

理由：∵⊙P分別與兩坐標軸相切，

∴PA⊥OA，PK⊥OK，

∴∠PAO＝∠OKP＝90°．

又∵∠AOK＝90°，

∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°．

∴四邊形OKPA是矩形．

又∵PA＝PK，∴

四邊形OKPA是正方形；

（2）①連接PB，過點P作PG⊥BC于G．

∵四邊形ABCP為菱形，∴BC＝PA＝PB＝PC．

∴△PBC為等邊三角形．

在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，

設PB＝PA＝a，BG＝

由勾股定理得：PG＝a，

所以P（a，），將P點坐標代入y＝，

解得：a＝2或﹣2（舍去負值），

∴PG＝，PA＝BC＝2．

又四邊形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，

∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3．

∴A（0，），B（1，0），C（3，0）；

設：二次函數的解析式為：y＝ax2+bx+c，

根據題意得：a+b+c＝0，9a+3b+c＝0，而c＝

解得：a＝，b＝﹣，c＝，

∴二次函數的解析式為：y＝x2﹣x+；

②設直線BP的解析式為：y＝ux+v，據題意得：

解之得：u＝，v＝﹣．

∴直線BP的解析式為：y＝x﹣，

過點A作直線AM∥BP，則可得直線AM的解析式為：．

解方程組：

得：；．

過點C作直線CM∥PB，則可設直線CM的解析式為：．

∴0＝．

∴．

∴直線CM的解析式為：．

解方程組：

得：；．

綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，分別為（0，），（3，0），（4，），（7，）．