Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點（不與點B，C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB，AE，CD于點M，P，N．小聰過點B作BF∥MN分別交AE，CD于點G，F后，猜想線段EC，DN，MB之間的數量關系為EC＝DN＋MB．他的猜想正確嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】正確，理由見解析

【解析】

先證明四邊形MBFN是平等四邊形，從而得到MB＝NF；根據ASA證明△ABE≌△BCF，從而得到BE＝CF，則有DF＝EC，再根據DF＝NF+DN和MB＝NF可得到EC＝DN+MB．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴MB//NF，∠C＝∠ABC，AB//DC，∠BFC+∠CBF＝90，AB＝BC，

又∵MN//BF，

∴四邊形MBFN是平行四邊形，∠AMP＝∠ABF，

∴MB＝NF，

∵AB//DC，

∴∠BFC=∠ABF，

又∵∠AMP＝∠ABF，

∴∠AMP＝∠BFC，

∵MN⊥AE，

∴∠APM是直角，則∠AMP+∠MAE＝90，

又∵∠BFC+∠CBF＝90，

∴∠MAE＝CBF，

在△ABE和△BCF中

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴BE＝CF，

∴CE＝DF

又∵DF＝NF+DN（由圖可得），MB＝NF（已證）

∴CE＝DF＝DN+MB，即CE＝DN+MB．