Question

【題目】已知直線AB∥CD．

（1）如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數量關系是　 　．

（2）如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數量關系？請說明理由．

（3）如圖3，點E在直線BD的右側，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，請直接寫出∠BFD和∠BED的數量關系　 　．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE+∠CDE=∠BED；（2）詳見解析；（3）2∠BFD+∠BED=360°．

【解析】試題分析：（1）點E作EF∥AB，根據平行線的性質易證得∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，則可得∠ABE+∠CDE=∠BED；（2）∠BFD=∠BED，已知BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，根據角平分線的性質可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，所以∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE），由（1）的結論可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），∠BED=∠ABE+∠CDE，所以∠BFD=∠BED；（3過點E作EG∥CD，根據平行公理可得AB∥CD∥EG，根據平行線的性質易證∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，再由（1）的方法可得∠BFD=∠ABF+∠CDF；已知BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，根據角平分線的性質可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，所以∠BFD=（∠ABE+∠CDE），即2∠BFD+∠BED=360°．

試題解析：

（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．

理由：如圖1，作EF∥AB，

∵直線AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，

∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，

即∠ABE+∠CDE=∠BED．

故答案為：∠ABE+∠CDE=∠BED．

（2）∠BFD=∠BED．

理由：如圖2，∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，

∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE），

由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）

∠BED=∠ABE+∠CDE，

∴∠BFD=∠BED．

（3）2∠BFD+∠BED=360°．

理由：如圖3，過點E作EG∥CD，

∵AB∥CD，EG∥CD，

∴AB∥CD∥EG，

∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，

∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，

由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，

又∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，

∴∠BFD=（∠ABE+∠CDE），

∴2∠BFD+∠BED=360°．

故答案為：2∠BFD+∠BED=360°．