Question

【題目】如圖 ，在平面直角坐標(biāo)系中 ，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)

的圖象經(jīng)過(guò) A（-1，0），B（3，0），C（6，4）三點(diǎn).

（1）求此二次函數(shù)解析式和頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)；

（2）①E為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作FG//x 軸，分別交拋物線于F、G兩點(diǎn) ，若，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

② 若拋物線對(duì)稱(chēng)軸上點(diǎn) H 到直線 BC 的距離等于點(diǎn) H 到 x 軸的距離，則求出點(diǎn) H

的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)I（1，）為圓心，IH 的長(zhǎng)為半徑作⊙I，J 為⊙I上的動(dòng)點(diǎn),求是否存在一個(gè)定值，使得 CJ+EJ 的最小值是若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.若存在，請(qǐng)求出的值；

Answer 1

【答案】（1）y=（x+1）（x-3），對(duì)稱(chēng)軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，）（2）、.（3）存在定值，使得

【解析】分析：用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

分兩種情況進(jìn)行討論即可.

假設(shè)存在，在對(duì)稱(chēng)軸上取點(diǎn)K（1，3），則，,故 ，證明△IJE∽△IKJ，得到，即，

從而，當(dāng)且僅當(dāng)K、J、C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.

詳解：（1）設(shè)拋物線解析式為，則有

，解得，

故拋物線解析式為，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，）.

（2）①設(shè)E（1，t），則有

，

即

故 ，

即，由，解得，

∴，解得，故E（1，）.

②如圖，作∠ABC的平分線與對(duì)稱(chēng)軸x=1的交點(diǎn)即為符合題意的H點(diǎn)，記為H1；

在x軸上取點(diǎn)R（-2,0），連結(jié)RC交∠ABC的平分線BH1于Q，則有RB=5；

過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸交x軸于點(diǎn)N，

在Rt△BCN中，∵BN=3，CN=4，∴BC=5，∴BC=RB，

在△BCR中，∵BC=RB，BQ平分∠ABC，

∴Q為RC中點(diǎn)

∵R(-2，0),C(6，4) ∴Q（2,2），

∵B（3，0），∴過(guò)點(diǎn)B、Q兩點(diǎn)的

一次函數(shù)解析式為

當(dāng)x=1時(shí)，y=4. 故H1（1，4）

如圖，過(guò)點(diǎn)B作交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)H2，則點(diǎn)H2符合題意，記對(duì)稱(chēng)軸于x軸交于點(diǎn)T.

∵即

∵，

∵∠BTH2=∠H1TB,∴Rt△BTH2∽Rt△H1TB，

∴即

解得即H2（1，-1）

綜上，、.

（3）存在定值，使得. 理由如下：

如圖，在對(duì)稱(chēng)軸上取點(diǎn)K（1，3），則

，,

故 ，∵∠JIE=∠KIJ,

∴△IJE∽△IKJ，

∴，即，

從而，當(dāng)且僅當(dāng)K、J、C三點(diǎn)共線時(shí)， ，即，

故存在定值，使得.