Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于點D，連接AE，∠E＝30°，AC＝5．

（1）求CE的長；

（2）求S△ADC：S△ACE的比值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）﹣3．

【解析】

（1）先根據圓周角定理得出∠ACB=90°，由∠ABC=30°可得出AB的長，再由CE平分∠ACB得出∠BCE=∠BAE=45°，故可得出△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理可得出AE的長；過點A作AF⊥CE于點F，△ACF為等腰直角三角形，由勾股定理得，AF和CF的長，再由勾股定理逆定理得EF的長，最后計算CE=CF+EF的長即可；（2）過點C作CM⊥AB于點M，連接OE，利用等底三角形的面積比等于高之比，得出：=，再通過比值計算即可得：的比值．

解：

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠AEB＝90°，

又∠E＝30°，

∴∠ABC＝30°，

∵AC＝5，

∴AB＝10，BC＝，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCE＝45°，AE＝BE＝.

如圖，過點A作AF⊥CE于點F，

則△ACF為等腰直角三角形，

∴，

∴2CF2＝25，

∴AF＝CF＝，

∴EF＝ ，

∴CE＝CF+EF＝，

∴CE的長為.

（2）過C作CM⊥AB于點M，連接OE，

∵AE＝BE，O為AB中點，

∴OE⊥AB，

∴S△ADC：S△ADE＝CM：OE＝CM：5，

∵ACBC＝ABCM，

∴CM＝，

∴S△ADC：S△ADE＝，

∴S△ADC：S△ACE＝.