Question

【題目】如圖，已知拋物線經過，，三點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）經過點B的直線交y軸于點D，交線段于點E，若．

①求直線的解析式；

②已知點Q在該拋物線的對稱軸l上，且縱坐標為1，點P是該拋物線上位于第一象限的動點，且在l右側．點R是直線上的動點，若是以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②（2，4）或（，）

【解析】

（1）根據待定系數法求解即可；

（2）①過點E作EG⊥x軸，垂足為G，設直線BD的表達式為：y=k（x-4），求出直線AC的表達式，和BD聯立，求出點E坐標，證明△BDO∽△BEG，得到，根據比例關系求出k值即可；

②根據題意分點R在y軸右側時，點R在y軸左側時兩種情況，利用等腰直角三角形的性質求解即可.

解：（1）∵拋物線經過點，，，代入，

∴，解得：，

∴拋物線表達式為：；

（2）①過點E作EG⊥x軸，垂足為G，

∵B（4，0），

設直線BD的表達式為：y=k（x-4），

設AC表達式為：y=mx+n，將A和C代入，

得：，解得：，

∴直線AC的表達式為：y=2x+4，

聯立：，

解得：，

∴E（，），

∴G（，0），

∴BG=，

∵EG⊥x軸，

∴△BDO∽△BEG，

∴,

∵，

∴，

∴，

解得：k=，

∴直線BD的表達式為：；

②由題意：設P（s，），1＜s＜4，

∵△PQR是以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，

∴∠PQR=90°，PQ=RQ，

當點R在y軸右側時，如圖，

分別過點P，R作l的垂線，垂足為M和N，

∵∠PQR=90°，

∴∠PQM+∠RQN=90°，

∵∠MPQ+∠PQM=90°，

∴∠RQN=∠MPQ，又PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°，

∴△PMQ≌△QNR，

∴MQ=NR，PM=QN，

∵Q在拋物線對稱軸l上，縱坐標為1，

∴Q（1，1），

∴QN=PM=1，MQ=RN，

則點P的橫坐標為2，代入拋物線得：y=4，

∴P（2，4）；

當點R在y軸左側時，

如圖，分別過點P，R作l的垂線，垂足為M和N，

同理：△PMQ≌△QNR，

∴NR=QM，NQ=PM，

設R（t，），

∴RN==QM，

NQ=1-t=PM，

∴P（，2-t），代入拋物線，

解得：t=或（舍），

∴點P的坐標為（，），

綜上：點P的坐標為（2，4）或（，）.