Question

【題目】（1）【問題發現】

如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數量關系為　 　

（2）【拓展研究】

在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）【問題發現】

當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，直接寫出線段AF的長．

Answer 1

【答案】（1）BE=AF；（2）無變化；證明見解析；（3）當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，線段AF的長為﹣1或+1．

【解析】試題分析：（1）先利用等腰直角三角形的性質得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出結論；

（2）先利用三角函數得出，同理得出，夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進而得出結論；

（3）分兩種情況計算，當點E在線段BF上時，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=﹣，借助（2）得出的結論，當點E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論．

試題解析：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，

根據勾股定理得，BC=AB=2，

點D為BC的中點，∴AD=BC=，

∵四邊形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，

∵BE=AB=2，∴BE=AF，

故答案為BE=AF；

（2）無變化；

如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，

在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC=，

∴，

∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，

∴線段BE與AF的數量關系無變化；

（3）當點E在線段AF上時，如圖2，

由（1）知，CF=EF=CD=，

在Rt△BCF中，CF=，BC=2，

根據勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，

由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，

當點E在線段BF的延長線上時，如圖3，

在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，

在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，∴ ，

∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，

由（1）知，CF=EF=CD=，

在Rt△BCF中，CF=，BC=2，

根據勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，

由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．

即：當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，線段AF的長為﹣1或+1．