Question

【題目】如圖，將拋物線M1：y＝ax2+4x向右平移3個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線M2，直線y＝x與M1的一個交點記為A，與M2的一個交點記為B，點A的橫坐標是﹣3．

（1）求a的值及M2的表達式；

（2）點C是線段AB上的一個動點，過點C作x軸的垂線，垂足為D，在CD的右側作正方形CDEF．

①當點C的橫坐標為2時，直線y＝x+n恰好經過正方形CDEF的頂點F，求此時n的值；

②在點C的運動過程中，若直線y＝x+n與正方形CDEF始終沒有公共點，求n的取值范圍（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）M2的頂點為（1，﹣1），M2的表達式為y＝x2﹣2x；（2）①n＝﹣2；②n＞3，n＜﹣6．

【解析】

(1)將點A橫坐標代入y＝x，即可得出點A縱坐標，從而得出點A的坐標，根據點A在拋物線M1：y＝ax2+4x上，代入即可得出a的值，將拋物線M1化為頂點式，根據平移的原則即可得出拋物線M2；

(2)①把點C橫坐標代入y＝x，即可得出點C坐標，從而得出點F坐標，把點F代入y＝x+n即可得出n的值；

②根據直線y＝x+n與正方形CDEF始終沒有公共點，直接可得出n的取值范圍．

(1)∵點A在直線y＝x，且點A的橫坐標是﹣3，

∴A(﹣3，﹣3)，

把A(﹣3，﹣3)代入y＝ax2+4x，

解得a＝1，

∴M1：y＝x2+4x，頂點為(﹣2，﹣4)，

∴M2的頂點為(1，﹣1)，

∴M2的表達式為y＝x2﹣2x；

(2)①由題意，C(2，2)，

∴F(4，2)，

∵直線y＝x+n經過點F，

∴2＝4+n，

解得n＝﹣2；

②將y=x代入y＝x2﹣2x，得

x2﹣2x=x，解得：x1=0，x2=3，

∴點B(3，3)，

當點C與點A重合時，點D的坐標為(-3，0)，

此時有-3+n=0，解得：n=3；

當點C與點B重合時，點E的坐標為(6，0)，

此時有6+n=0，解得：n=-6，

綜上可知，當直線y=x+n與正方形CDEF始終沒有公共點時，n＞3或n＜﹣6．