Question

【題目】已知：如圖1，拋物線的頂點為M：平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B（點A在點B左側），根據對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規定：當△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”．

（1）如圖2，求出拋物線y＝x2的“完美三角形”斜邊AB的長；

（2）若拋物線y＝ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；

（3）若拋物線y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，求m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）a＝或﹣；（3）m＝﹣，n＝

【解析】

（1）設點B的坐標為：（m，m），把點B的坐標代入拋物線表達式得：m=m2，即可求解；

（2）①當a＞0時，由（1）得：點B（m，m+4），AB=2m=4，則m=2，則點B（2，6），將點B的坐標代入拋物線表達式y=ax2+4即可求解；②當a＜0時，設點B（m，4-m），同理可得：a=-，即可求解；

（3）y=mx2+2x+n-5的最大值為-1，則拋物線開口向下，即m＜0，設點B（s，-1-s），由mx2+2x+n-5的最大值為-1，則c-=-1，即n-5-…①，“完美三角形”斜邊長為n，則2s=n…②，把點B的坐標代入拋物線表達式得：-1-s=ms2+2s+n-5…③，即可求解．

（1）設點B的坐標為：（m，m），

把點B的坐標代入拋物線表達式得：m＝m2，解得：m＝0或1（舍去0），

故點B的坐標為：（1，1），則點A（﹣1，1），

則AB＝2；

（2）①當a＞0時，由（1）得：點B（m，m+4），

AB＝2m＝4，則m＝2，則點B（2，6），

將點B的坐標代入拋物線表達式y＝ax2+4得：

6＝4a+4，解得：a＝；

②當a＜0時，設點B（m，4﹣m），

同理可得：a＝﹣；

綜上，a＝或﹣；

（3）y＝mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，則拋物線開口向下，即m＜0，

設點B（s，﹣1﹣s），

由mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，則c﹣＝﹣1，即n﹣5﹣…①，

“完美三角形”斜邊長為n，則2s＝n…②，

把點B的坐標代入拋物線表達式得：﹣1﹣s＝ms2+2s+n﹣5…③，

聯立①②③并化簡得：11s2﹣28s+16＝0，解得：s＝（負值已舍去），

m＝﹣，n＝．