Question

【題目】已知△ABC和△CDE都為等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．

探究：如圖①，當點A在邊EC上，點C在線段BD上時，連結BE、AD．求證：BE＝AD，BE⊥AD．

拓展：如圖②，當點A在邊DE上時，AB、CE交于點F，連結BE．若AE＝2，AD＝4，則的值為　 　．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】

（1）根據等腰三角形得BC＝CA，EC＝CD，證明△BCE≌△ACD，根據同角的余角相等即可證明,（2）作輔助線證明FM＝FN，根據S△ABE=S△BEF+S△AEF,求出EF,FC的長即可求的值.

解：（1）探究：延長DA交BE于F．

∵△ABC和△CDE都為等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．

∴BC＝CA，EC＝CD，

∴△BCE≌△ACD，

∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BEC+∠EBC＝90°，

∴∠ADC+∠EBC＝90°，

∴∠BFD＝90°，

∴BE⊥AD．

（2）拓展：作FM⊥DE于M，FN⊥BE于N．

由探究可知：BE⊥DE，BE＝AD＝4，∠FEM＝∠FEB＝45°，

∵FM⊥DE于M，FN⊥BE于N．

∴FM＝FN，

∵EBFN+AEFM＝BEAE，

∴FM＝FN＝，

∴EF＝，

∵CE＝CD＝3,

∴CF＝，

∴EF：CF＝4：5．

故答案為．