Question

【題目】如圖1，小紅家陽臺上放置了一個曬衣架．如圖2是曬衣架的側面示意圖，立桿AB．CD相交于點O，B．D兩點立于地面，經測量：

AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現將曬衣架完全穩固張開，扣鏈EF成一條直線，且EF=32cm．

（1）求證：AC∥BD；

（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數（精確到0.1°）；

（3）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達到122cm，垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由．

（參考數據：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，

tan61.9°≈0.553；可使用科學記算器）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）61.9°（3）會拖落到地面，理由見解析

【解析】

（1）根據等角對等邊得出∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD）和∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD），進而利用平行線的判定得出即可；

（2）首先作OM⊥EF于點M，則EM=16cm，利用cos∠OEF=0.471，即可得出∠OEF的度數；

（3）首先證明Rt△OEM∽Rt△ABH，進而得出AH的長即可．

（1）證明：證法一：∵AB．CD相交于點O，

∴∠AOC=∠BOD…1分

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD），

同理可證：∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD），

∴∠OAC=∠OBD，…2分

∴AC∥BD，…3分

證法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，

∴OB=OD=85cm，

∴

又∵∠AOC=∠BOD

∴△AOC∽△BOD，

∴∠OAC=∠OBD；

∴AC∥BD

（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；

作OM⊥EF于點M，則EM=16cm；

∴cos∠OEF=0.471，

用科學記算器求得∠OEF=61.9°；

（3）解法一：小紅的連衣裙會拖落到地面；

在Rt△OEM中，=30cm，

過點A作AH⊥BD于點H，

同（1）可證：EF∥BD，

∴∠ABH=∠OEM，則Rt△OEM∽Rt△ABH，

∴

所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．

解法二：小紅的連衣裙會拖落到地面；

同（1）可證：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；

過點A作AH⊥BD于點H，在Rt△ABH中

，

AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm

所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．