Question

【題目】如圖1，拋物線()與軸交于點和點，與軸交于點．

（1）求拋物線解析式和點坐標；

（2）在軸上有一動點，過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點.當點位于第一象限圖象上，連接，求面積的最大值及此時點的坐標；

（3）如圖2，點關于軸的對稱點為，連接．

①點是線段上一點(不與點重合)，點是線段上一點(不與點重合)，則兩條線段之和的最小值為　　　　；

②將繞點逆時針旋轉()，當點的對應點落在的邊所在直線上時，則此時點的對應點的坐標為　　　　．

Answer 1

【答案】（1），B（0，2）；（2）4，M（2，3）；（3）①；②或或

【解析】

（1）將代入，可求出的值，將的值代入即得到拋物線解析式，令，求，得點坐標；

（2）待定系數法求出直線的解析式，設點，將表示成的二次函數，配方成頂點式即可求得面積的最大值及此時點的坐標；

（3）第①題求的最小值利用對稱進行轉化，應用“兩點之間線段最短”及“垂線段最短”可以得到“的最小值”即為點到直線的距離；第②題在繞逆時針旋轉過程中，按照依次落在直線、、上分類討論．

解：（1）將代入，得，

解得，

拋物線解析式為，

令，得，

；

（2）如圖1，過點作于，設，，

設直線的解析式為，將，分別代入得，

解得，

直線的解析式為，

，

，

，，

當時，的最大值，

此時，點的坐標為；

（3）①如圖2，連接、、，則，只有當、、三點在同一直線上，且時，的值最小，

過點作于，交軸于，，，，

、關于軸對稱

，，

，即的最小值，

故答案為．

②如圖3，點落在直線上，

在拋物線中，令，解得，，

，，，

，

由旋轉知，，，，，

，

．

設交軸于，過作軸于，

，

△，

，，即，

，解得

△

，即，

，

，

，即，

，

；

如圖4，點落在直線上，，

點的對應點落在軸上，由旋轉知：△，

，

；

如圖5，點落在直線上，過作軸于，作軸于，作于，

，

，，

，，

在△ADQ和△中，

，

∴△ADQ≌△（AAS），

，

，

，

，

故答案為：或或.