Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（0，2）為圓心，2為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B．已知點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)D為⊙A上的一動(dòng)點(diǎn)，以CD為斜邊，在CD左側(cè)作等腰直角三角形CDE，連結(jié)BC，則△BCE面積的最小值為_____．

Answer 1

【答案】4﹣．

【解析】

設(shè)出點(diǎn)E（m，n），先構(gòu)造出△CME≌△END（AAS），進(jìn)而確定出點(diǎn)D（m+n，n+2-m），再利用AD=2，建立方程，利用兩點(diǎn)間的距離得出點(diǎn)E是以O為圓心，為半徑的圓上，即可得出結(jié)論．

解：如圖，設(shè)E（m，n），

過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸于M，過(guò)點(diǎn)作DN⊥EM，交ME的延長(zhǎng)線于N，

∴∠CME＝∠END＝90°，

∴∠MCE+∠MEC＝90°，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CE＝DE，∠CED＝90°，

∴∠NED+∠MEC＝90°，

∴∠MCE＝∠NED，

∴△CME≌△END（AAS），

∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，

∴D（m+n，n+2﹣m），

∵點(diǎn)D在以A（0，2）為圓心半徑為2的圓上，

連接AD，則AD＝2，

∴＝2，

∴＝，

即，

∴點(diǎn)E在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，（到定點(diǎn)（0，0）的距離是的點(diǎn)的軌跡），

∵以點(diǎn)A（0，2）為圓心，2為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

∵C（2，0），

∴OC＝2，

∴BC＝2，

過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，

∴OH＝＝，

設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為h，

∴S△BCE＝BCh＝×h＝h，

∴h最小時(shí)，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣2，

∴S△BCE最小＝（）＝4﹣，

故答案為：4﹣．