Question

學以致用
問題：任意給定一個矩形，是否存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？
討論：小明說：一定存在．
小華說：一定不存在．
小紅說：不一定存在．
探究：老師和大家一起舉例說明：（1）如果已知矩形的長和寬和面積分別為7和1，那么它的周長和面積分別16和7，則所求的矩形周長和面積應為8和3.5；
問題轉化為：周長為8，面積為3.5的矩形是否存在？
我們假設所求矩形的長為x，固定它的周長為8，則它的寬為

 

可列出方程

 

解得：

 

所以：

 

（2）①如果矩形的長和寬分別為5和1，這時情況如何？
②綜上所得，你認為

 

的說法正確．

Answer 1

分析：設出新矩形的一邊長為未知數，根據周長表示出另一邊長，根據面積得到方程求解即可．

解答：（1）設所求矩形的長為x，固定它的周長為8，則它的寬為 4-x，
可列出方程 x（4-x）=3.5
解得：x₁=2+

2

，x₂=2-

2

所以：矩形的長為2+

2

．
（2）①如果矩形的長和寬分別為5和1，則矩形的周長為12，面積為5，
∴新矩形的周長為6，面積為2.5．
設所求矩形的長為x，固定它的周長為6，則它的寬為 3-x，
可列出方程 x（3-x）=2.5
△＜0，沒有實數根
所以不存在這樣的矩形；
②由以上兩個結論可得小紅的說法正確；
故答案為：（1）4-x；x（4-x）=3.5；x₁=2+

2

，x₂=2-

2

；矩形的長為2+

2

．
（2）②小紅．

點評：考查一元二次方程在幾何圖形中的應用；用到的知識點為：矩形的一邊長=周長的一半-另一邊長．