Question

（2012•西城區(qū)模擬）探索一個(gè)問題：“任意給定一個(gè)矩形A，是否存在另一個(gè)矩形B，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半？”
（1）完成下列空格：
當(dāng)已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為6和1時(shí)，小明是這樣研究的：設(shè)所求矩形的一邊是x，則另一邊為（

7

2

-x），由題意得方程：x（

7

2

-x）=3，化簡(jiǎn)得：2x²-7x+6=0
∵b²-4ac=49-48＞0，∴x₁=

2

，x₂=

3

2

．
∴滿足要求的矩形B存在．
小紅的做法是：設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：

x+y= 7 2 xy=3

消去y化簡(jiǎn)后也得到：2x²-7x+6=0，（以下同小明的做法）
（2）如果已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為2和1，請(qǐng)你仿照小明或小紅的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．
（3）在小紅的做法中，我們可以把方程組整理為：

y= 7 2 -x y= 3 x

，此時(shí)兩個(gè)方程都可以看成是函數(shù)解析式，從而我們可以利用函數(shù)圖象解決一些問題．如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的部分圖象，其中x和y分別表示矩形B的兩邊長(zhǎng)，請(qǐng)你結(jié)合剛才的研究，回答下列問題：（完成下列空格）
①這個(gè)圖象所研究的矩形A的面積為

8

；周長(zhǎng)為

18

．
②滿足條件的矩形B的兩邊長(zhǎng)為

9+ 17

4

和

9- 17

4

．

Answer 1

分析：（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可；
（2）設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組，消去y化簡(jiǎn)再根據(jù)方程的判別式解答即可；
（3）①由圖可知，一次函數(shù)解析式為y=-x+4.5，反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

，組成方程組，消去y求出方程的根，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂=4.5，x₁x₂=4，即可．
②利用解二元二次方程，可求出滿足條件的矩形B的兩邊長(zhǎng)．

解答：解：（1）x₁=2，x2=

3

2

，…（4分）

（2）設(shè)所求矩形的一邊是x，則另一邊為（

3

2

-x），
由題意得方程：x（

3

2

-x）=1，
化簡(jiǎn)得：2x²-3x+2=0
∵b²-4ac=9-16＜0，
∴原方程無解．
∴滿足要求的矩形B不存在．…（8分）

（3）（每空1分）
①由圖可知，一次函數(shù)解析式為y=-x+4.5，
反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

，
組成方程組得：

y=-x+4.5 y= 4 x

，
整理得出：x²-4.5x+4=0，
∴x₁+x₂=4.5，x₁x₂=4，
∵矩形B的兩邊長(zhǎng)和為4.5，周長(zhǎng)為9，面積為4，
∴這個(gè)圖象所研究的矩形A的面積為8；周長(zhǎng)為18，
故答案為：8，9；
②由題意得出：

x+y=4.5 xy=4

，
解得：

x= 9+ 17 4 y= 9- 17 4

，

x= 9- 17 4 y= 9+ 17 4

，
則滿足條件的矩形B的兩邊長(zhǎng)為

9+ 17

4

和

9- 17

4

…（12分）．
故答案為：

9+ 17

4

，

9- 17

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及二元二次方程解法、利用函數(shù)圖象得函數(shù)解析式等知識(shí)，根據(jù)圖象得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．