Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足 ，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）若tan∠CBA= ，AE=3，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∵ ，

∴∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE切⊙O于點C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴△ABC是直角三角形，

∵tan∠CBA= ，

∴∠CBA=60°，

∴∠BAC=∠EAC=30°，

∵△AEC為直角三角形，AE=3，

∴AC=2 ，

連接OF，

∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

∴△OAF為等邊三角形，

∴AF=OA= AB，

在Rt△ACB中，AC=2 ，tan∠CBA= ，

∴BC=2，

∴AB=4，

∴AF=2

【解析】（1）首先連接OC，由OC=OA， ，易證得OC∥AE，又由DE切⊙O于點C，易證得AE⊥DE；（2）由AB是⊙O的直徑，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC為直角三角形，根據AE=3求得AC的長，然后連接OF，可得△OAF為等邊三角形，知AF=OA= ，在△ACB中，利用已知條件求得答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)．