Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF，GH分割成四個小長方形，EF與GH交于點P，設BF長為a，BG長為b，△GBF的周長為m，

(1)①用含a，b，m的式子表示GF的長為 ；

②用含a，b的式子表示長方形EPHD的面積為 ；

(2)已知直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，

例如在圖1，△ABC中，∠ABC=900，則，

請用上述知識解決下列問題：

①寫出a，b，m滿足的等式 ；

②若m=1，求長方形EPHD的面積；

③當m滿足什么條件時，長方形EPHD的面積是一個常數？

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）①；②；③m=1

【解析】

（1）①直接根據三角形的周長公式即可；

②根據BF長為a，BG長為b，表示出EP，PH的長，根據求長方形EPHD的面積；

（2）①直接根據直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，表示出a，b，m之間的關系式；

②根據線段之間的關系利用勾股定理求出長方形EPHD的面積的值；

③結合①的結論和②的作法即可求解.

（1）①∵BF長為a，BG長為b，△GBF的周長為m，

∴，

故答案為：；

②∵正方形ABCD的邊長為1 ，

∴AB=BC=1，

∵BF長為a，BG長為b，

∴AG=1-b，FC=1-a，

∴EP=AG=1-b，PH=FC=1-a，

∴長方形EPHD的面積為：，

故答案為：；

（2）①△ABC中，∠ABC=90°，則，

∴在△GBF中， ，

∴，

化簡得，

故答案為：；

②∵BF=a，GB=b，

∴FC=1-a，AG=1-b，

在Rt△GBF中，，

∵Rt△GBF的周長為1，

∴

即 ，

即，

整理得

∴，

∴矩形EPHD的面積

．

③由①得： ，

∴.

∴矩形EPHD的面積

，

∴要使長方形EPHD的面積是一個常數，只有m=1．