Question

【題目】在平面直角坐標系中，有一組有規律的點：

A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（3，0）、A5（4，1）….依此規律可知，當n為奇數時，有點An (n－1，1)，當n為偶數時，有點An(n－1，0)．

拋物線C1經過A1，A2，A3三點，拋物線C2經過A2，A3，A4三點，拋物線C3經過A3，A4，A5三點，…拋物線Cn經過An，An＋1，An＋2．

（1）直接寫出拋物線C1，C4的解析式；

（2）若點E（e，f1）、F（e，f2）分別在拋物線C27、C28上，當e＝29時，求證：△A26EF是等腰直角三角形；

（3）若直線x＝m分別交x軸、拋物線C2014、C2015于點P、M、N，作直線A2015 M、A2015 N，當∠A2015 NM＝90°時，求sin∠A2015 MN的值．

Answer 1

【答案】（1）y1＝(x－1)2， y4＝－(x－4)2＋1；（2）詳見解析；（3）.

【解析】試題分析：(1)根據頂點式即可求出C1，C4的解析式;

(2)由特殊出發,可以發現拋物線C27、C28的解析式應該為: y27＝(x－27)2, y28＝－(x－28)2＋1.則得到點E（29，4）、F（29，0）,根據兩點之間的距離公式即可求得EF, 從而說明△A26EF是等腰直角三角形;

(3) 如圖，要使∠A2015 NM＝90°，直線x＝m只能在點A2015的右側，根據三角函數即可得到sin∠A2015 MN的值.

解:（1）根據頂點式容易求出C1，C4的解析式分別為：

y1＝(x－1)2， y4＝－(x－4)2＋1．

（2）由特殊出發，可以發現這組拋物線解析式的特點：

y1＝(x－1)2

y3＝(x－3)2

……

y2＝－(x－2)2＋1

y4＝－(x－4)2＋1

……

∴如圖所示，拋物線C27的解析式為：y27＝(x－27)2,且過點A27，A28，A29 ,

拋物線C28的解析式為：y28＝－(x－28)2＋1．且過點A28，A29，A30,

∵點E（e，f1）、F（e，f2）分別在拋物線C27、C28上， e＝29，

∴f1＝(29－27)2＝4，f2＝－(29－28)2+1＝0，

∴點E（e，f1）、F（e，f2）坐標分別為E（29，4）、F（29，0）；

∵A26的坐標是（25，0），點F（29，0）與點A30重合，

∴A26A30＝29－25＝4，EF＝4，且與軸平行, ∠EF A26=90°,

∴△A26EF是等腰直角三角形；

（3）由（2）中發現的規律可知，

過點，

過點，

點A2015坐標為（2014，1）．

如圖，要使∠A2015 NM＝90°，直線x＝m只能在點A2015的右側，

此時，∠A2015 N平行于軸，

∴PN=1．

∵點N在上，

∴， 或2015（舍去）．

∴∠A2015 N=2，且點M的橫坐標為2016．

∴=－3．

∴MN=1－（－3）=4，A2015 M=．

，∴sin∠A2015 MN的值為．

點睛:本題考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：頂點式求拋物線的解析式，兩點之間的距離公式，勾股定理逆定理，三角函數的知識，綜合性較強，有一定的難度.