Question

【題目】如圖，∠MON60°，點A是OM邊上一點，點B，C是ON邊上兩點，且ABAC，作點B關于OM的對稱點點D，連接AD，CD，OD.

（1）依題意補全圖形；

（2）猜想∠DAC °，并證明；

（3）猜想線段OA、OD、OC的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60，證明見解析；（3）猜想：AO=OC+OD，證明見解析.

【解析】

（1）根據題意作圖即可補全圖形；

（2）連接BD，如圖2，由點B與點D關于AO對稱，可得AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，然后利用三角形的外角性質和三角形的內角和可得∠BAC與∠OAB的關系，而∠DAC＝∠DAO+∠BAO+∠BAC，進一步即可得出∠DAC的度數；

（3）在射線CN上截取CF=BO，連接AF，如圖3，先根據SAS證明△ABO≌△ACF，可得∠AFO＝∠AOB＝60°，進而可證得△AOF是等邊三角形，于是AO=OF，而點B與點D關于AO對稱，于是有OB=OD，進一步即可得出線段OA、OD、OC的數量關系.

解：（1）補全圖形如圖1：

（2）∠DAC =60°；

證明：連接BD，如圖2，∵點B與點D關于AO對稱，

∴BD被AO垂直平分，∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，

∵AB＝AC，∴AD＝AC，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AOB+∠OAB=60°+∠OAB，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2(60°+∠OAB)= 60°－2∠OAB，

∴∠DAC＝∠DAO+∠BAO+∠BAC＝2∠OAB+60°－2∠OAB=60°；

故答案為：60；

（3）猜想：AO=OC+OD.

證明：在射線CN上截取CF=BO，連接AF，如圖3，

∵AB=AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABO＝∠ACF，

∴△ABO≌△ACF（SAS），

∴∠AFO＝∠AOB＝60°，

∴△AOF是等邊三角形，∴AO=OF，

∵點B與點D關于AO對稱，

∴OB=OD，∴OD=CF，

∴AO=OF=OC+CF=OC+OD.