Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點E，F，G，若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=，點H是BD上的一個動點，則HG+HC的最小值為______________.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先證明四邊形BEDG是菱形，作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，在Rt△EMC中，求出EM、MC即可解決問題．

解：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，

∴△EFD≌△GFB（AAS）
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四邊形EBGD是菱形．
如圖，作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小

在Rt△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2 ，
∴EM=BE=，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，
在Rt△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，
∴∠NDC=∠NCD=45°，
∴DN=NC=，
∴MC=3，
在Rt△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，
∴EC==5．
∵HG+HC=EH+HC=EC，
∴HG+HC的最小值為5．
故答案為5．