Question

【題目】已知圓O的直徑AB=12，點C是圓上一點，且∠ABC=30°，點P是弦BC上一動點，過點P作PD⊥OP交圓O于點D．

（1）如圖1，當PD∥AB 時，求PD的長；

（2）如圖2，當BP平分∠OPD時，求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）PD=;(2)PC=3

【解析】

（1）先判斷出∠POB=90°，進而求出OP＝OBtan30°＝2最后用勾股定理即可得出結論；

（2）先求出OH＝OB＝3，BH＝OBcos30°＝3，進而求出CH＝BH＝3，即可得出結論．

解：如圖1，連接OD .

∵直徑AB=12

∴OB=OD=6

∵PD⊥OP

∴∠DPO=90°

∵PD∥AB

∴∠DPO+∠POB=180°

∴∠POB=90°

又∵∠ABC=30°，OB=6

∴，

∵在Rt△POD 中，PO2+PD2=OD2

∴,

∴;

（2）如圖2，過點O 作OH⊥BC，垂足為H

∵OH⊥BC

∴∠OHB=∠OHP=90°

∵∠ABC=30°，OB=6

∴，，

∵在⊙O 中，OH⊥BC

∴.

∵BP 平分∠OPD

∴∠BPO=∠DPO=45°，

∴PH=OHcot45°=3

∴PC=CH-PH=．