Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，．

（1）求的面積；

（2）點為坐標軸上一點，若的面積恰好是面積的一半，求點的坐標．

（3）如圖2，過點作軸于點，點為延長線上的一動點，連接平分.當點運動時，與度數之間的數量關系是否會改變？若不變，請直接寫出其數量關系；若改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）或(0,5)或(0,-5)；（3）與度數之間的數量關系不變，．

【解析】

（1）根據三角形的面積公式計算即可．

（2）分兩種情形分別構建方程即可解決問題．

（3）根據平行線的性質及證明∠1＝∠3即可解決問題．

如圖1，過點作軸，重足為

，

，

；

如圖1，過點作軸，垂足為

由知，

①當點在軸上時，設

解得：

的坐標為

②當點在軸上時，設

解得：

的坐標為

點的坐標為或

（3）結論：∠OPD＝2∠DOE．

理由：如圖2，

∵OE平分∠AOP，

∴∠AOE＝∠POE＝∠1＋∠2，

∵OF⊥OE，

∴∠1＋∠2＋∠3＝90°，∠4＋∠AOE＝90°，

∴∠3＝∠4，

∵CD⊥y軸，

∴CD∥AB，

∴∠OPD＝∠POB＝2∠3，

∵∠1＋∠2＋∠3＝90°，∠2＋∠3＋∠4＝90°，

∴∠1＋∠2＋∠3＝∠2＋2∠3，

∴∠1＝∠3，

由∠DOE=∠1，∠OPD=∠POB=2∠1

∴∠OPD＝2∠DOE．