Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D的切線交BC于點E．

（1）求證：EB=EC；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ODEC是正方形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】詳解解析

【解析】試題（1）連接CD，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC為直徑即可判定BC是⊙O的切線，所以∠ADC=90°，根據切線長定理可得DE=CE，根據等腰三角形的性質可得∠DCE=∠CDE，再由∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，即可得∠EBD=∠EDB，所以DE=BE，即可得CE =BE；（2）當△ABC是等腰直角三角形時，四邊形ODEC是正方形，先證得四邊形ODEC是矩形，再由EC=ED，即可判定四邊形ODEC是正方形.

試題解析：

（1）證明：連接CD，

∵AC是直徑，∠ACB=90°，

∴BC是⊙O的切線，∠ADC=90°．

∵DE是⊙O的切線，

∴DE=CE（切線長定理）．∴∠DCE=∠CDE，

又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，

∴∠EBD=∠EDB．∴DE=BE，

∴CE =BE．

（2）解：當△ABC是等腰直角三角形時，四邊形ODEC是正方形. 證明如下：

△ABC是等腰直角三角形．則∠B=45°，

∴∠DCE=∠CDE=45°，則∠DEB=90°，

又∵OC=OD，∠ACB=90°，∴∠OCD=∠ODC=45°，

∴∠ODE=90°，

∴四邊形ODEC是矩形，

∵EC=ED，

∴四邊形ODEC是正方形.