Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過，兩點.將繞點逆時針旋轉90°得到，點在拋物線上.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）已知點在軸上（點不與點重合），連接，若與相似，試求點的坐標。

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為或或.

【解析】

（1）由旋轉的性質求出D的坐標，再由待定系數法可得出函數關系式；

（2）設點M的坐標為（0，m），由ΔAOB與ΔAOM相似，且∠AOB=∠AOM=90°，分兩種情況討論即可．

（1）由旋轉可得OD=OB=4，則D（-4，0）．由拋物線經過B（0，4），可設y=ax2+bx+4，代入A（2，0），D（-4，0）可得：，解得：．

因此該拋物線的表達式為．

（2）由題可知OA=2，OB=4，設點M的坐標為（0，m），如圖．

∵ΔAOB與ΔAOM相似，且∠AOB=∠AOM=90°，∴分兩種情況討論：

①若，即，∴|m|=4，即m=±4．

∵點M不與點C重合，∴m=-4，此時點M的坐標為M1 （0，-4）．

②若，即，∴|m|=1，即m=±1．

此時點M的坐標為M2 （0，-1）或M3 （0，1）．

綜上所述：點M的坐標為M1 （0，-4）或M2 （0，-1）或M3 （0，1）．