Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．

（1）求證：此方程總有兩個實數根；

（2）若此方程有一個根大于0且小于1，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1＜k＜2．

【解析】

（1）根據方程的系數結合根的判別式，求得判別式恒成立，因此得證；

（2）利用求根公式求根，根據有一個跟大于0且小于1，列出關于的不等式組，解之即可.

（1）證明：△=b2-4ac=[-（k+1）]2-4×（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2，

∵（k-3）2≥0，即△≥0，

∴此方程總有兩個實數根，

解得x1=k-1，x2=2，

∵此方程有一個根大于0且小于1，

而x2＞1，

∴0＜x1＜1，

即0＜k-1＜1．

∴1＜k＜2，

即k的取值范圍為：1＜k＜2．