Question

【題目】如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作交于，交于，過點作于下列結論：①；②點到各邊的距離相等；③；④設，，則；⑤.其中正確的結論是.__________．

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據角平分線的定義與三角形內角和定理，即可求得③∠BOC=90°+∠A正確；由平行線的性質和角平分線的定義得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正確；由角平分線的性質得出點O到△ABC各邊的距離相等，故②正確；由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得④設OD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn，故④錯誤，根據HL證明△AMO≌△ADO得到AM=AD，同理可證BM=BN，CD=CN，變形即可得到⑤正確．

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故③正確；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．

∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正確；

過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA．

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AEOM+AFOD=OD（AE+AF）=mn；故④錯誤；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴點O到△ABC各邊的距離相等，故②正確；

∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；

同理可證：BM=BN，CD=CN．

∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=（AB+AC﹣BC）故⑤正確．

故答案為：①②③⑤．